直線(xiàn)與面相交怎么表示 點(diǎn)與直線(xiàn)關(guān)系圖解

直線(xiàn)與平面相交時(shí)，其交線(xiàn)為一個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)為交點(diǎn)。表示直線(xiàn)與平面相交的方法有兩種：

1. 參數(shù)方程法

設(shè)直線(xiàn)的方向向量為 v，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn) P0，則直線(xiàn)可表示為：

r = P0 + tv, t ∈ R

其中，r 為直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，t 為參數(shù)。

設(shè)平面方程為 Ax + By + Cz + D = 0，將直線(xiàn)參數(shù)方程代入，得到：

At(x0 + vt) + Bt(y0 + wt) + Ct(z0 + ut) + D = 0

聯(lián)立參數(shù)方程和平面方程，即可解出交點(diǎn) r0 的坐標(biāo)。

2. 點(diǎn)法式

設(shè)平面通過(guò)點(diǎn) P0，法向量為 n，則平面方程可表示為：

(r P0) · n = 0

其中，r 為平面上的任意一點(diǎn)。

將直線(xiàn)參數(shù)方程代入，得到：

(P0 + t v P0) · n = 0

整理得：

直線(xiàn)和平面相交怎么確定交點(diǎn)

v · n = 0

若 v 與 n 正交，則直線(xiàn)與平面相交于一點(diǎn)。否則，直線(xiàn)與平面不交或相交于整條直線(xiàn)。

案例

已知直線(xiàn) r = (1, 2, 3) + t(2, 1, 1) 和平面 2x + y z + 5 = 0，求其交點(diǎn)。

使用參數(shù)方程法：

2(1 + 2t) + (2 + t) (3 t) + 5 = 0

6t + 9 = 0

t = 3/2

代入直線(xiàn)參數(shù)方程，得交點(diǎn) r0 = (1 6, 2 3/2, 3 + 3/2) = (5, 1/2, 9/2)。

已知直線(xiàn) r = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1) 和平面 x + 2z = 0，求其相交關(guān)系。

使用點(diǎn)法式：

v = (2, 0, 1)

n = (1, 0, 2)

v · n = 2 ≠ 0

因此，直線(xiàn)與平面相交于一點(diǎn)。